科龙空调外机不启动可能有多种原因，以下是一些常见的维修方法：
1. 检查电源：确保空调外机的电源插头已插好，电源是否正常。
2. 检查遥控器：确认遥控器的电池是否有电，以及遥控器是否设置正确。
3. 检查外机线路：检查外机的电源线、控制线等是否连接良好，有无松动或损坏。
4. 清洁外机：外机可能被灰尘、杂物等堵塞，影响散热，导致外机不启动。可以清洁外机的散热器和风扇。
5. 检查外机压缩机：压缩机是空调外机的核心部件，如果压缩机出现故障，外机将无法启动。可以检查压缩机的电容、绕组等是否正常。
6. 检查外机风扇：外机风扇如果出现故障，也会导致外机不启动。可以检查风扇的电机、电容等是否正常。
7. 检查外机传感器：外机传感器如果出现故障，也会导致外机不启动。可以检查传感器的电阻、电压等是否正常。
8. 检查外机电路板：外机电路板如果出现故障，也会导致外机不启动。

可以检查电路板的焊点、元件等是否正常。

如果以上方法都无法解决问题，建议联系专业的空调维修人员进行维修。